Начальный ток короткого замыкания

Расчёт сети имеет вид:

Ток КЗ рассчитывается в два этапа:

рассчитать составляющую тока КЗ \(I''_{kI}\) от всех источников напряжения
рассчитать составляющую тока КЗ \(I''_{kII}\) от всех источников тока

Эти два тока затем составляют полный начальный ток КЗ \(I''_{k} = I''_{kI} + I''_{kII}\).

Эквивалентные источники напряжения

Для расчёта составляющей тока КЗ от источников напряжения, все эти источники заменяются на один эквивалентный источник напряжения \(V_Q\) подключенный в месте повреждения. Величина напряжения на повреждённой шине принимается равной:

\[\begin{split}V_Q = \left\{ \begin{array}{@{}ll@{}} \frac{c \cdot \underline{V}_{N}}{\sqrt{3}} & \text{for three phase short circuit currents} \\ \frac{c \cdot \underline{V}_{N}}{2} & \text{for two phase short circuit currents} \end{array}\right.\end{split}\]

где \(V_N\) - номинальное напряжение повреждённой шины и c это коэффициент коррекции напряжения, - коэффициент коррекции напряжения, который учитывает рабочие отклонения от номинального напряжения в сети..

Коэффициенты коррекции напряжения \(c_{min}\) для минимального и \(c_{max}\) для максимального токов короткого замыкания определяются для каждой шины в зависимости от уровня напряжения. В низковольтных сетях существует дополнительное различие между сетями с допустимым снижением напряжения 6% по сравнению с 10% для \(c_{max}\):

Уровень напряжения		\(c_{min}\)	\(c_{max}\)
< 1 кВ	Допуск 6%	0.95	1.05
< 1 кВ	Допуск 10%	0.95	1.10
> 1 кВ		1.00	1.10

Составляющая источника напряжения

Чтобы рассчитать составляющую всех источников напряжения сделаны следующие допущения:

Токи нагрузки на всех шинах не учитываются
Игнорируются все источники тока
Напряжние на повреждённой шине равно \(V_Q\)

Для расчёта тока КЗ на шине \(j\) необходимо решить следующее матричное уравнение:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \underline{Y}_{11} & \dots & \dots & \underline{Y}_{n1} \\[0.3em] \vdots & \ddots & & \vdots \\[0.3em] \vdots & & \ddots & \vdots \\[0.3em] \underline{Y}_{1n} & \dots & \dots & \underline{Y}_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline{V}_{1} \\ \vdots \\ V_{Qj} \\ \vdots \\ \underline{V}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ \underline{I}''_{kIj} \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

где \(\underline{I}''_{kIj}\) - составляющая источника напряжения в ток короткого замыкания на шине \(j\). Напряжения на неповреждённых шинах и ток в повреждённой шине неизвестны. Чтобы найти \(\underline{I}''_{kIj}\) мы умножаем его на инвертированную матрицу проводимостей (матрицу сопротивлений):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \underline{V}_{1} \\ \vdots \\[0.4em] V_{Qj} \\[0.4em] \vdots \\ \underline{V}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{Z}_{11} & \dots & \dots & \dots & \underline{Z}_{n1} \\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & \underline{Z}_{jj} & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ \underline{Z}_{1n} & \dots & \dots & \dots & \underline{Z}_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\[0.25em] \underline{I}''_{kIj} \\[0.25em] \vdots \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Ток короткого замыкания для шины j определяется как:

\[I''_{kIj} = \frac{V_{Qj}}{Z_{jj}}\]

Для расчета вектора токов короткого замыкания на всех шинах уравнение можно расширить следующим образом:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \underline{V}_{Q1} & \dots & \underline{V}_{n1} \\[0.4em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.4em] \underline{V}_{1n} & \dots & \underline{V}_{Qn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{Z}_{11} & \dots & \underline{Z}_{n1} \\[0.8em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.8em] \underline{Z}_{1n} & \dots & \underline{Z}_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline{I}''_{kI1} & \dots & 0 \\[0.8em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.8em] 0 & \dots & \underline{I}''_{kIn} \end{bmatrix}\end{split}\]

из которого следует:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} I''_{kI1} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] I''_{kIn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{V_{Q1}}{Z_{11}} \\ \vdots \\ \frac{V_{Qn}}{Z_{nn}} \end{bmatrix}\end{split}\]

Таким образом все токи короткого замыкания могут быть рассчитаны одновременно с помощью одной инверсии матрицы проводимостей.

Если указано сопротивление в месте повреждения то оно добавляется к диагонали матрицы сопротивления. Затем токи короткого замыкания на всех шинах рассчитываются как:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} I''_{kI1} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] I''_{kIn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{V_{Q1}}{Z_{11} + Z_{fault}} \\ \vdots \\ \frac{V_{Qn}}{Z_{nn} + Z_{fault}} \end{bmatrix}\end{split}\]

Составляющая источников тока

Для расчёта составляющей источников тока в полном токе КЗ все источники напряжения все источники напряжения замкнуты накоротко и учитываются только источники тока. Тогда токи шин выражаются как:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} I_1 \\[0.2em] \vdots \\[0.2em] I_m \\[0.2em] \vdots \\ I_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\[0.2em] \vdots \\[0.2em] \underline{I}''_{kIIj} \\[0.2em] \vdots \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} I''_{kC1} \\[0.2em] \vdots \\[0.2em] \underline{I}''_{kCj} \\[0.2em] \vdots \\ I''_{kCn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -I''_{kC1} \\[0.2em] \vdots \\[0.2em] \underline{I}''_{kIIj} - \underline{I}''_{kCj} \\[0.2em] \vdots \\ -I''_{kCn} \end{bmatrix}\end{split}\]

где \(I''_{kC}\) - токи КЗ, которые подаются преобразовательным элементом на каждую шину, \(\underline{I}''_{kIIj}\) - вклад преобразовательных элементов на повреждённую шину \(j\). Если известно что напряжение на повреждённой шине равно нулю, уравнения сети имеет следующий вид:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \underline{V}_{1} \\ \vdots \\[0.4em] 0 \\[0.4em] \vdots \\ \underline{V}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{Z}_{11} & \dots & \dots & \dots & \underline{Z}_{n1} \\ \vdots & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & {Z}_{jj} & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ \underline{Z}_{1n} & \dots & \dots & \dots & \underline{Z}_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -I''_{kC1} \\[0.2em] \vdots \\[0.2em] \underline{I}''_{kIIj} - \underline{I}''_{kCj} \\[0.2em] \vdots \\ -I''_{kCn} \end{bmatrix}\end{split}\]

Из строки \(j\) уравнения следует:

\[0 = \underline{Z}_{jj} \cdot \underline{I}''_{kIIj} - \sum_{m=1}^{n}{\underline{Z}_{jm} \cdot \underline{I}_{kCj}}\]

которое можно преобразовать в:

\[\underline{I}''_{kIIj} = \frac{1}{\underline{Z}_{jj}} \cdot \sum_{m=1}^{n}{\underline{Z}_{jm} \cdot \underline{I}_{kC, m}}\]

Чтобы рассчитать все токи при КЗ на каждой шине одновременно можно обобщить в следующее матричное уравнение:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \underline{I}''_{kII1} \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] \underline{I}''_{kIIn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{Z}_{11} & \dots & \dots & \underline{Z}_{n1} \\[0.3em] \vdots & \ddots & & \vdots \\[0.3em] \vdots & & \ddots & \vdots \\[0.3em] \underline{Z}_{1n} & \dots & \dots & \underline{Z}_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{I''_{kC1}}{\underline{Z}_{11}} \\[0.25em] \vdots \\ \vdots \\[0.25em] \frac{I''_{kCn}}{\underline{Z}_{nn}} \end{bmatrix}\end{split}\]